ניתוח נתונים ב-SAT מתמטיקה: אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות
ניתוח נתונים ופתרון בעיות ב-SAT (Problem-Solving and Data Analysis) הוא התחום שבו המתמטיקה יוצאת מהכיתה. אחוזים, יחסים, טבלאות, גרפים, ממוצעים, הסתברות ואפילו קצת מתודולוגיה של מחקר. מתמטית זה לא התחום הכי קשה במבחן. מה שקשה בו זה לקרוא בדיוק מה שואלים.
לפי College Board, התחום מקבל 5 עד 7 שאלות מתוך 44, כלומר בערך 13% עד 15% מהמתמטיקה. פחות מאלגברה ומתמטיקה מתקדמת, אבל אלה נקודות שלא כדאי לוותר עליהן, כי רוב השאלות כאן פתירות בלי שום טריק מתוחכם.
זה החלק השלישי בסדרה על ארבעת תחומי המתמטיקה ב-SAT. את המבנה הכללי של החלק (44 שאלות, שני מודולים של 35 דקות, דסמוס ודף נוסחאות) הסברתי בחלק הראשון על אלגברה.
מה נבדק בניתוח נתונים ופתרון בעיות?
ב-College Board מגדירים את התחום כיכולת להפעיל חשיבה כמותית על יחסים, קצבים ופרופורציות, להבין ולהפעיל קצב ליחידה, ולנתח ולפרש נתונים במשתנה אחד ובשני משתנים. ובפירוט, שבעה סוגי שאלות רשמיים:
יחסים, קצבים, פרופורציות ויחידות (Ratios, rates, proportional relationships, and units): מתכונים, מהירויות, המרת יחידות, קנה מידה.
אחוזים (Percentages): הנחות, עליות מחירים, אחוז מתוך אחוז, ובעיקר שינוי באחוזים.
נתונים במשתנה אחד (One-variable data): ממוצע, חציון, טווח, סטיית תקן ברמת הבנה, היסטוגרמות ודיאגרמות קופסה.
נתונים בשני משתנים (Two-variable data): דיאגרמות פיזור, קו מגמה, מודלים לינאריים ומעריכיים, ומה המשמעות של השיפוע בהקשר.
הסתברות והסתברות מותנית (Probability and conditional probability): בעיקר מתוך טבלאות דו כיווניות.
הסקה מדגימה וטעות דגימה (Inference from sample statistics and margin of error): מה אפשר להסיק על אוכלוסייה מתוך מדגם, ומה המשמעות של טווח טעות.
הערכת טענות סטטיסטיות (Evaluating statistical claims): ניסוי מול מחקר תצפיתי, מתי מותר לדבר על סיבתיות ועל מי מותר להכליל.
רוב השאלות כאן הן ברמה קלה עד בינונית. הקושי האמיתי מגיע מהטקסט: שאלות ארוכות, טבלאות עם הרבה מספרים, וניסוחים כמו "of those who" שמשנים לגמרי את המכנה.
שאלה לדוגמה 1: אחוזים (בינונית)
The price of a jacket was increased by 20%. Later, the new price was decreased by 20%, and the final price was $96. What was the original price of the jacket, in dollars?
A) 92
B) 96
C) 100
D) 104
פתרון: עלייה של 20% היא כפל ב-1.2, וירידה של 20% היא כפל ב-0.8. ביחד: כפל ב-0.96. אז המחיר המקורי כפול 0.96 שווה 96, ולכן המחיר המקורי הוא 100. התשובה היא C.
המלכודת היא כמובן B: "עלה ב-20% וירד ב-20%, אז חזר למקום". לא. הירידה מחושבת מהמחיר החדש, הגבוה יותר, ולכן בסוף יורדים מתחת למחיר ההתחלתי. כלל ברזל: שינויים באחוזים לא מחברים, מכפילים.
שאלה לדוגמה 2: ממוצע וחציון (קלה עד בינונית)
A data set consists of the values 4, 7, 7, 10, and 12. A sixth value, 30, is added to the data set. Which of the following statements is true?
A) The mean and the median increase by the same amount.
B) The mean increases by more than the median does.
C) The median increases by more than the mean does.
D) Neither the mean nor the median changes.
פתרון: לפני ההוספה הממוצע הוא 40 חלקי 5, כלומר 8, והחציון הוא 7. אחרי שמוסיפים 30, הממוצע הוא 70 חלקי 6, בערך 11.67, והחציון הוא הממוצע של 7 ו-10, כלומר 8.5. הממוצע עלה בכ-3.67 והחציון רק ב-1.5. התשובה היא B.
את זה אפשר לענות גם בלי לחשב בכלל: ערך קיצוני (outlier) מושך את הממוצע חזק, והחציון כמעט לא זז. ב-SAT אוהבים לשאול את זה בצורה מילולית, וזה כמה שניות למי שמבין את הרעיון.
שאלה לדוגמה 3: הסתברות מותנית מטבלה (בינונית עד קשה)
בסקר שנערך בבית ספר נשאלו 120 תלמידים אם הם מעדיפים שיעורים מקוונים או פרונטליים. התוצאות:
Grade 11: online 36, in-person 14, total 50
Grade 12: online 48, in-person 22, total 70
Total: online 84, in-person 36, total 120
If a student who prefers online classes is selected at random, what is the probability that the student is in grade 11?
A) 3/10
B) 3/7
C) 18/25
D) 7/10
פתרון: המילים החשובות הן "a student who prefers online classes". זה המכנה: 84 תלמידים שמעדיפים מקוון. מתוכם 36 בכיתה י"א. 36 חלקי 84 זה 3 חלקי 7. התשובה היא B.
ועכשיו תראו איך בנויים המסיחים: 3/10 זה 36 חלקי 120 (שכחתם את התנאי), 18/25 זה 36 חלקי 50 (הפכתם את התנאי), ו-7/10 זה 84 חלקי 120 (עניתם על שאלה אחרת לגמרי). כל אחת מהטעויות האלה נפוצה מאוד. לפני שאתם מחשבים, תכתבו לעצמכם: מה המכנה?
המלכודות הקבועות
המכנה הלא נכון: בהסתברות מותנית ובאחוזים, "מתוך מה" זו כל השאלה.
אחוזים מצטברים: שינויים באחוזים מכפילים, לא מחברים. 20% ואז 20% זה לא 40%.
שינוי באחוזים: השינוי חלקי הערך המקורי, לא חלקי הערך החדש.
סיבתיות: רק ניסוי עם הקצאה אקראית מאפשר לדבר על סיבה ותוצאה. מחקר תצפיתי מראה רק קשר.
הכללה: אפשר להכליל רק לאוכלוסייה שממנה נדגם המדגם באקראי. סקר בבית ספר אחד לא מלמד על כל המדינה.
יחידות: שאלו בקמ"ש ונתנו מטרים לשנייה? תמירו לפני שאתם עונים.
מתי דסמוס עוזר בניתוח נתונים
בתחום הזה דסמוס פחות קריטי מאשר במתמטיקה מתקדמת, אבל יש לו כמה שימושים חזקים. אפשר להקליד רשימת מספרים ולחשב ממוצע, חציון וסטיית תקן בשורה אחת. אפשר להכניס טבלת נתונים ולבקש קו רגרסיה כדי למצוא את קו המגמה בדיאגרמת פיזור. ובשאלות אחוזים מסובכות, הוא פשוט מחשבון מדויק שלא מתבלבל. את הפקודות המדויקות תמצאו במדריך המלא למחשבון דסמוס בעברית ובעשרת השימושים הכי טובים של Desmos במבחן ה-DSAT.
אבל בשאלות על מחקרים, הסקה וטעות דגימה, דסמוס לא יעזור לכם בכלום. שם צריך לקרוא, להבין ולחשוב. כמו בקריאה וכתיבה, רק עם מספרים.
טיפים לזמן
בשאלות ארוכות, תקראו קודם את השאלה עצמה (המשפט האחרון) ורק אז את הסיפור. ככה תדעו מה לחפש בטבלה.
בטבלאות, תסמנו בעיניים את השורה ואת העמודה הרלוונטיות לפני שאתם מתחילים לחשב.
שאלות על מחקרים לרוב לא דורשות חישוב בכלל. אם אתם מחשבים משהו בשאלה כזו, כנראה שפספסתם את הנקודה.
איך מתרגלים ניתוח נתונים
תשלטו באחוזים בעל פה: כפל ב-1.15 לעלייה של 15%, כפל ב-0.85 לירידה של 15%. זה צריך להיות רפלקס.
תתרגלו טבלאות דו כיווניות עד שהשאלה "מה המכנה" עולה לכם אוטומטית.
תלמדו את ההבדלים בין ממוצע לחציון ואת ההשפעה של ערכים קיצוניים. זה אחד הנושאים הכי מתגמלים בתחום.
תקראו את ההסברים גם לשאלות שעניתם עליהן נכון, במיוחד בשאלות על מחקרים. הרבה פעמים צדקתם מהסיבה הלא נכונה.
תעבדו עם שאלות SAT לדוגמה וסימולציות של Bluebook, ותעקבו אחרי הציון שלכם לפי תחום. אם אתם לא בטוחים לאיזה ציון לכוון, הנה מהו ציון SAT טוב.
השורה התחתונה
ניתוח נתונים ופתרון בעיות הוא התחום שבו הכי קל לאבד נקודות מטופשות: מכנה לא נכון, אחוזים שחיברתם במקום להכפיל, מסקנה סיבתית ממחקר תצפיתי. המתמטיקה פשוטה, הקריאה היא הכול. תאטו, תשאלו את עצמכם "מתוך מה", ותאספו את 5 עד 7 הנקודות האלה. בפוסט הבא והאחרון בסדרה: גיאומטריה וטריגונומטריה.
הסדרה: ארבעת חלקי המתמטיקה ב-SAT
חלק 3: ניתוח נתונים ופתרון בעיות ב-SAT (אתם כאן)
ובסדרה המקבילה על חלק הקריאה והכתיבה: אוצר מילים, הבנת הנקרא, דקדוק, מילות קישור, סיכום הערות.
קראו עוד: קורס SAT של אבי יולזרי | מבחן SAT: כל מה שצריך לדעת | קורס SAT | מבחן SAT: כל מה שרצית לדעת
מוכנים להפסיק לקרוא ולהתחיל לתרגל SAT?
בניתי פלטפורמת הכנה ל-SAT בעברית, תרגול לפי מבנה המבחן האמיתי.
