גיאומטריה וטריגונומטריה ב-SAT: משולשים, מעגלים וכל השאר
גיאומטריה וטריגונומטריה ב-SAT (Geometry and Trigonometry) הם התחום שהרבה תלמידים ישראלים מפחדים ממנו, בעיקר כי הם זוכרים את ההוכחות מהבגרות. אז קודם כל, תנשמו: ב-SAT אין הוכחות. יש חישובים, יש שרטוטים, ויש דף נוסחאות שמחכה לכם על המסך.
לפי College Board, התחום מקבל 5 עד 7 שאלות מתוך 44, בערך 13% עד 15% מהמתמטיקה. כמו ניתוח נתונים, זה תחום קטן יחסית. אבל דווקא בגלל שהוא קטן, הרבה תלמידים מזניחים אותו, ואז מגלים במודול השני שאלת מעגלים שהם לא יודעים מאיפה להתחיל.
זה החלק הרביעי והאחרון בסדרה על ארבעת תחומי המתמטיקה ב-SAT. את המבנה הכללי של חלק המתמטיקה הסברתי בחלק הראשון על אלגברה.
מה נבדק בגיאומטריה וטריגונומטריה?
ב-College Board מגדירים ארבעה סוגי שאלות רשמיים:
נוסחאות שטח ונפח (Area and volume formulas): שטחים של מצולעים ומעגלים, נפחים של תיבה, גליל, חרוט, פירמידה וכדור. וגם: מה קורה לשטח או לנפח כשמגדילים את הממדים.
ישרים, זוויות ומשולשים (Lines, angles, and triangles): זוויות בין ישרים מקבילים, סכום זוויות במשולש, משולשים דומים ויחסי צלעות.
משולשים ישרי זווית וטריגונומטריה (Right triangles and trigonometry): משפט פיתגורס, משולשים מיוחדים (30, 60, 90 ו-45, 45, 90), סינוס, קוסינוס וטנגנס, והקשר בין סינוס של זווית לקוסינוס של הזווית המשלימה.
מעגלים (Circles): היקף, שטח, קשתות וגזרות, רדיאנים, ומשוואת מעגל במערכת צירים.
רמת הקושי? משתנה מאוד. שאלות שטח ונפח בסיסיות הן מהקלות במבחן, אבל שאלות מעגלים במערכת צירים ושאלות על משולשים דומים יכולות להיות מהקשות שבו. ופרט חשוב לישראלים: ה-SAT משתמש ביחידות אמריקאיות לפעמים (inches, feet), ומודד זוויות גם במעלות וגם ברדיאנים.
דף הנוסחאות: החבר הכי טוב שלכם
במבחן יש דף נוסחאות (reference sheet) שאפשר לפתוח בכל רגע. יש בו את נוסחאות השטח והנפח הנפוצות, משפט פיתגורס, המשולשים המיוחדים, ועובדות בסיסיות כמו מספר המעלות במעגל. כלומר, אתם לא צריכים לשנן את נפח החרוט.
אבל הנה הבעיה: מי שפותח את הדף בפעם הראשונה ביום המבחן מבזבז עליו זמן. תכירו אותו מראש, תדעו מה יש בו ומה אין, ובעיקר: נוסחת מעגל במערכת צירים לא נמצאת שם, ואותה תצטרכו לדעת בעל פה.
שאלה לדוגמה 1: טריגונומטריה במשולש ישר זווית (קלה עד בינונית)
In right triangle ABC, angle C measures 90 degrees, BC = 3, and AB = 5. What is the value of cos(B) ?
A) 3/5
B) 4/5
C) 3/4
D) 4/3
פתרון: קוסינוס הוא ניצב סמוך חלקי יתר. הניצב הסמוך לזווית B הוא BC, שאורכו 3, והיתר הוא AB, שאורכו 5. לכן קוסינוס B שווה 3/5. התשובה היא A.
שימו לב שלא היה צורך לחשב את הצלע השלישית (היא 4, משולש 3, 4, 5 קלאסי). והטריק שכדאי להכיר: סינוס של A שווה בדיוק לקוסינוס של B, כי A ו-B משלימות ל-90 מעלות. ב-SAT אוהבים לשאול "אם sin(x) שווה 0.6, מה cos(90 פחות x)?", והתשובה היא פשוט 0.6.
שאלה לדוגמה 2: משוואת מעגל (בינונית עד קשה)
x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
The equation above defines a circle in the xy-plane. What is the radius of the circle?
זו שאלה שבה מקלידים את התשובה בעצמכם.
פתרון: צריך להגיע לצורה הסטנדרטית של מעגל, שבה המרכז והרדיוס גלויים. משלימים לריבוע: x בריבוע פחות 6x הופך ל-(x פחות 3) בריבוע פחות 9, ו-y בריבוע ועוד 4y הופך ל-(y ועוד 2) בריבוע פחות 4. מעבירים אגפים ומקבלים (x פחות 3) בריבוע ועוד (y ועוד 2) בריבוע שווה 25. המרכז הוא (3, מינוס 2) והרדיוס הוא שורש של 25, כלומר 5. התשובה: 5.
המלכודת: לענות 25. זה הרדיוס בריבוע. ואם השלמה לריבוע נשמעת לכם כמו קללה, דסמוס יודע לשרטט את המשוואה בדיוק כמו שהיא כתובה. תסתכלו על הגרף, תמצאו את המרכז ותספרו כמה יחידות יש עד הקצה.
שאלה לדוגמה 3: רדיאנים ואורך קשת (בינונית)
A circle has a radius of 6. A central angle of the circle measures 2pi/3 radians. What is the length of the arc intercepted by this angle?
A) 2pi
B) 4pi
C) 6pi
D) 12pi
פתרון: כשהזווית ברדיאנים, אורך הקשת הוא פשוט רדיוס כפול זווית. 6 כפול 2pi/3 זה 4pi. התשובה היא B.
ומי שלא זוכר את הנוסחה? 2pi/3 רדיאנים זה 120 מעלות, כלומר שליש מעגל. ההיקף המלא הוא 12pi, ושליש ממנו הוא 4pi. אותה תשובה, בדרך שכל אחד יכול להבין. ושימו לב ש-12pi נמצא שם בשביל מי שעצר אחרי שחישב את ההיקף.
המלכודות הקבועות
רדיוס מול קוטר: הם נתנו קוטר, הנוסחה צריכה רדיוס. קלאסיקה.
רדיוס מול רדיוס בריבוע: במשוואת מעגל, המספר בצד ימין הוא r בריבוע.
הגדלת ממדים: אם מכפילים כל צלע פי 2, השטח גדל פי 4 והנפח פי 8. לא פי 2.
מעלות מול רדיאנים: תבדקו באיזו יחידה השאלה, ובאיזו יחידה דסמוס מוגדר.
שרטוט לא בקנה מידה: אם כתוב "not drawn to scale", אל תמדדו בעיניים.
משולשים דומים: תתאימו קודקוד לקודקוד לפני שאתם כותבים יחס. צלע מול הזווית הנכונה.
מתי דסמוס עוזר בגיאומטריה
גיאומטריה היא התחום שבו דסמוס הכי פחות אינטואיטיבי, אבל יש לו שני שימושים מצוינים. הראשון: משוואות מעגל. מקלידים את המשוואה כמו שהיא, ודסמוס משרטט את המעגל. רואים את המרכז, רואים את הרדיוס, ואפשר גם לבדוק אם נקודה מסוימת נמצאת על המעגל. השני: טריגונומטריה. דסמוס מחשב סינוס וקוסינוס, אבל שימו לב אם הוא מוגדר על מעלות או על רדיאנים (יש כפתור הגדרות במחשבון). טעות בהגדרה הזו נותנת תשובה שגויה בביטחון מלא.
פרטים מלאים במדריך המלא למחשבון דסמוס בעברית ובעשרת השימושים הכי טובים של Desmos במבחן ה-DSAT. ואם אתם רוצים לדעת מה עוד עומד לרשותכם במבחן מלבד דסמוס, כתבתי על כלי העזר במבחן Digital SAT.
טיפים לזמן
תשרטטו. גם כשיש שרטוט, לפעמים כדאי לשרטט מחדש על דף הטיוטה עם כל הנתונים במקום אחד.
תכתבו את מה שאתם יודעים על השרטוט: אורכים, זוויות, צלעות שוות. הרבה פעמים התשובה מופיעה מעצמה.
אם שאלת גיאומטריה קשה מופיעה בסוף המודול ואתם לחוצים בזמן, היא מועמדת טובה לניחוש מושכל והמשך הלאה.
איך מתרגלים גיאומטריה וטריגונומטריה
תכירו את דף הנוסחאות לפני המבחן, ותדעו בעל פה את מה שלא מופיע בו, בעיקר משוואת מעגל.
תלמדו את המשולשים המיוחדים ואת השלשות הפיתגוריות הנפוצות (3, 4, 5 ו-5, 12, 13). הם חוסכים המון חישובים.
תתרגלו השלמה לריבוע עד שהיא לא מפחידה. היא חוזרת גם במתמטיקה מתקדמת.
תתרגלו המרה בין מעלות לרדיאנים: pi רדיאנים שווים 180 מעלות.
ישראלים שבאים מהבגרות או מהפסיכומטרי: הגיאומטריה ב-SAT פשוטה יותר ממה שאתם רגילים. אם אתם מתלבטים בין המבחנים, הנה ההשוואה שלי בין פסיכומטרי ל-SAT.
השורה התחתונה, וסיכום הסדרה
גיאומטריה וטריגונומטריה הם תחום קטן עם מלכודות קבועות: רדיוס מול קוטר, r מול r בריבוע, מעלות מול רדיאנים. תכירו את דף הנוסחאות, תלמדו משוואת מעגל בעל פה, ותשתמשו בדסמוס כשמגיעים למעגלים במערכת צירים.
וזהו, סיימנו את ארבעת התחומים. התמונה הכוללת: אלגברה ומתמטיקה מתקדמת הן שני שליש מהמבחן ושם צריך להשקיע את רוב הזמן. ניתוח נתונים וגיאומטריה קטנים יותר, אבל אלה נקודות קלות יחסית שאסור לוותר עליהן. ודסמוס? הוא לא תחליף להבנה, אבל מי שמגיע למבחן בלי לשלוט בו נלחם ביד אחת קשורה מאחורי הגב.
הסדרה: ארבעת חלקי המתמטיקה ב-SAT
חלק 4: גיאומטריה וטריגונומטריה ב-SAT (אתם כאן)
ובסדרה המקבילה על חלק הקריאה והכתיבה: אוצר מילים, הבנת הנקרא, דקדוק, מילות קישור, סיכום הערות.
מוכנים להפסיק לקרוא ולהתחיל לתרגל SAT?
בניתי פלטפורמת הכנה ל-SAT בעברית, תרגול לפי מבנה המבחן האמיתי.
