מתמטיקה מתקדמת ב-SAT: פונקציות, פרבולות וכל מה שביניהן
מתמטיקה מתקדמת ב-SAT (Advanced Math) היא המקום שבו המבחן מפסיק להיות נחמד. אם אלגברה היא קווים ישרים, כאן הכול מתעקם: פרבולות, פונקציות מעריכיות, שורשים, שברים אלגבריים. וזה לא תחום שולי. לפי College Board הוא מקבל 13 עד 15 שאלות מתוך 44, בדיוק כמו אלגברה, כלומר בערך שליש מהמתמטיקה.
מניסיון של 25 שנה ושל כמה אלפי תלמידים: זה התחום שמפריד בין תלמיד של 650 לתלמיד של 750 במתמטיקה. כמעט כל השאלות הקשות באמת במודול השני מגיעות מכאן. החדשות הטובות? גם כאן יש דפוסים קבועים, ודסמוס פותר חצי מהם בשבילכם אם יודעים איך לבקש.
זה החלק השני בסדרה על ארבעת תחומי המתמטיקה ב-SAT. אם עוד לא קראתם, החלק הראשון על אלגברה מסביר גם את המבנה הכללי של חלק המתמטיקה: 44 שאלות, שני מודולים אדפטיביים של 35 דקות, דסמוס מובנה ודף נוסחאות.
מה נבדק במתמטיקה מתקדמת?
לפי College Board, התחום מתמקד במתמטיקה שתצטרכו כדי להמשיך ללימודים בתחומים כמו מדעים, כלכלה והנדסה. בפועל מדובר בארבעה סוגי שאלות רשמיים:
ביטויים שקולים (Equivalent expressions): לפתוח סוגריים, לפרק לגורמים, לצמצם שברים אלגבריים, לעבוד עם חזקות ושורשים. השאלה הטיפוסית: איזה מהביטויים הבאים שקול לביטוי הנתון?
משוואות לא לינאריות במשתנה אחד (Nonlinear equations in 1 variable): משוואות ריבועיות, משוואות עם שורש, משוואות עם x במכנה, משוואות מעריכיות פשוטות.
מערכות משוואות בשני משתנים (Systems of equations in 2 variables): הפעם לפחות אחת המשוואות לא לינארית, למשל קו ישר ופרבולה. כמה נקודות חיתוך יש, ומתי יש בדיוק אחת.
פונקציות לא לינאריות (Nonlinear functions): ריבועיות ומעריכיות בעיקר. קודקוד, שורשים, חיתוך עם הצירים, גדילה ודעיכה מעריכית, ומה המשמעות של כל מספר בתוך סיפור.
רמת הקושי כאן פרוסה על כל הסקאלה. יש שאלות קלות של פתיחת סוגריים בתחילת המודול, ויש שאלות עם פרמטרים ומקדמים לא ידועים שבהן גם תלמידים חזקים מזיעים. אם אתם מכוונים ל-700 ומעלה, זה התחום שצריך לקבל את רוב שעות התרגול שלכם.
שאלה לדוגמה 1: ביטויים שקולים (קלה עד בינונית)
Which of the following is equivalent to x^2 + 6x + 5 ?
A) (x + 3)^2 - 4
B) (x + 3)^2 + 5
C) (x + 6)^2 - 31
D) (x - 3)^2 - 4
פתרון: פותחים את A: (x + 3) בריבוע זה x בריבוע ועוד 6x ועוד 9. מורידים 4 ומקבלים x בריבוע ועוד 6x ועוד 5. בדיוק. התשובה היא A.
טריק שחוסך זמן: הציבו x שווה 0. הביטוי המקורי נותן 5. תשובה B נותנת 14, תשובה C נותנת 5 (אופס, גם היא), ותשובה D נותנת 5. אז הצבה של 0 לבד לא מספיקה כאן, וזה בדיוק העניין. הציבו גם x שווה 1: המקורי נותן 12, A נותנת 12, C נותנת 18 ו-D נותנת 0. נשארה רק A. כשמציבים מספרים, תמיד תבדקו את כל התשובות, לא רק עד שמשהו מתאים.
שאלה לדוגמה 2: פונקציה ריבועית (בינונית)
f(x) = 2x^2 - 8x - 10
What is the minimum value of the function f ?
זו שאלה שבה מקלידים את התשובה בעצמכם.
פתרון: המקדם של x בריבוע חיובי, אז זו פרבולה "מחייכת" והמינימום נמצא בקודקוד. שיעור ה-x של הקודקוד הוא מינוס b חלקי 2a, כלומר 8 חלקי 4, שזה 2. מציבים: 2 כפול 4, פחות 16, פחות 10, ומקבלים מינוס 18. התשובה: מינוס 18.
המלכודת: הרבה תלמידים עונים 2. אבל 2 זה איפה המינימום, לא מה המינימום. ב-SAT שואלים "minimum value" כשרוצים את ערך ה-y, ושואלים "for what value of x" כשרוצים את ה-x. ובדסמוס? מקלידים את הפונקציה, לוחצים על הנקודה הנמוכה, ורואים (2, מינוס 18). עשר שניות.
שאלה לדוגמה 3: מערכת לא לינארית עם פרמטר (קשה)
y = x^2 - 4x + 7
y = 2x + k
In the system of equations above, k is a constant. For what value of k does the system have exactly one real solution?
פתרון: משווים את שני הביטויים ל-y ומעבירים הכול לצד אחד: x בריבוע פחות 6x ועוד 7 פחות k שווה 0. למשוואה ריבועית יש פתרון יחיד כשהדיסקרימיננטה (b בריבוע פחות 4ac) שווה 0. כלומר 36 פחות 4 כפול (7 פחות k) שווה 0. מכאן 7 פחות k שווה 9, ולכן k שווה מינוס 2. בדיקה: עם k שווה מינוס 2 הישר נוגע בפרבולה בנקודה (3, 4). התשובה: מינוס 2.
וזו בדיוק שאלה שבה דסמוס מציל חיים למי שלא זוכר דיסקרימיננטה: מקלידים את הפרבולה ואת y שווה 2x ועוד k, דסמוס מציע ליצור סליידר ל-k, ומזיזים עד שהישר רק נוגע בפרבולה. לא אלגנטי, אבל עובד.
המלכודות הקבועות של מתמטיקה מתקדמת
שורש שאיבד את הסימן: כשפותרים x בריבוע שווה 49, יש שני פתרונות, 7 ומינוס 7. כשפותרים משוואה עם שורש, צריך לבדוק פתרונות זרים בחזרה.
אחוזים בפונקציות מעריכיות: גדילה של 5% בשנה היא כפל ב-1.05, לא ב-0.05 ולא ב-5. דעיכה של 25% היא כפל ב-0.75.
מה המשמעות של המספר: בפונקציה כמו P(t) = 500(1.03)^t, ה-500 הוא הערך ההתחלתי וה-1.03 אומר גדילה של 3% ליחידת זמן. שאלות פרשנות כאלה חוזרות כל הזמן.
ערך מול מיקום: כמו בשאלה 2. קודקוד, שורש, חיתוך עם ציר y: תמיד תבררו אם שואלים על x או על y.
פרמטרים: כשיש קבוע לא ידוע (k, a, c), הפתרון הוא בדרך כלל דיסקרימיננטה, השוואת מקדמים, או סליידר בדסמוס.
דסמוס במתמטיקה מתקדמת: הנשק הכי חזק שלכם
אם יש תחום אחד שבו דסמוס משנה את המשחק, זה כאן. פונקציות לא לינאריות הן בדיוק מה שמחשבון גרפי נבנה בשבילו:
קודקוד ושורשים של פרבולה: מקלידים, לוחצים על הנקודות האפורות, וזהו.
מערכות לא לינאריות: מקלידים את שתי המשוואות וסופרים נקודות חיתוך.
ביטויים שקולים: מקלידים את הביטוי המקורי ואת התשובה, ואם הגרפים מתלכדים, מצאתם.
שאלות עם פרמטר: סליידר, ומזיזים עד שהתנאי מתקיים.
את כל הטכניקות האלה, עם הסברים מפורטים, תמצאו במדריך המלא למחשבון דסמוס בעברית ובעשרת השימושים הכי טובים של Desmos במבחן ה-DSAT. אבל אזהרה: דסמוס לא מחליף הבנה. אם אתם לא יודעים מה מחפשים בגרף, המחשבון לא ינחש בשבילכם.
טיפים לזמן
שאלות מתמטיקה מתקדמת נוטות להופיע בחצי השני של המודול, כשהשעון כבר לוחץ. הכלל שלי: אם אחרי 30 שניות של עבודה ידנית אתם לא רואים לאן זה הולך, תעברו לדסמוס. ואם אחרי עוד דקה זה עדיין לא עובד, סמנו את השאלה לחזרה, תנחשו משהו (אין ניקוד שלילי) ותמשיכו. שאלה אחת לא שווה שלוש שאלות קלות שלא הספקתם.
איך מתרגלים מתמטיקה מתקדמת
תשלטו בפירוק לגורמים ובנוסחת השורשים עד שזה אוטומטי. זה הבסיס של חצי מהשאלות בתחום.
תכירו את שלוש הצורות של פרבולה (רגילה, קודקוד, מכפלת גורמים) ומה כל אחת מראה לכם מיד.
תתרגלו פרשנות: לכל פונקציה בסיפור, תשאלו את עצמכם מה כל מספר אומר.
תעשו כל שאלה פעמיים: פעם ידנית ופעם בדסמוס. ככה תלמדו מתי כל שיטה מהירה יותר.
תנו לתחום הזה הכי הרבה זמן בתוכנית. אם אתם לא בטוחים כמה זמן צריך, יש לי מדריך על כמה זמן צריך להתכונן ל-SAT.
השורה התחתונה
מתמטיקה מתקדמת היא התחום הכי משתלם להשקעה ב-SAT: הרבה שאלות, הרבה שאלות קשות, ודפוסים שחוזרים על עצמם. מי ששולט בפרבולות, בפונקציות מעריכיות ובדסמוס, מרוויח כאן את הנקודות שמפרידות בין ציון טוב לציון מצוין. בפוסט הבא: ניתוח נתונים ופתרון בעיות, התחום שבו המתמטיקה פוגשת את החיים האמיתיים.
הסדרה: ארבעת חלקי המתמטיקה ב-SAT
חלק 2: מתמטיקה מתקדמת ב-SAT (אתם כאן)
ובסדרה המקבילה על חלק הקריאה והכתיבה: אוצר מילים, הבנת הנקרא, דקדוק, מילות קישור, סיכום הערות.
מוכנים להפסיק לקרוא ולהתחיל לתרגל SAT?
בניתי פלטפורמת הכנה ל-SAT בעברית, תרגול לפי מבנה המבחן האמיתי.
