אלגברה ב-SAT מתמטיקה: המדריך המלא לשאלות האלגברה
אלגברה ב-SAT היא הלחם והחמאה של חלק המתמטיקה. לא הכי מפחידה, לא הכי מתוחכמת, אבל היא שם בכל מודול, בכמויות, ומי שמאבד בה נקודות מאבד אותן בזול. אחרי 25 שנה ובערך 3,000 תלמידים אני יכול להגיד לכם בביטחון: רוב הנקודות שהולכות לפח במתמטיקה של ה-SAT הולכות דווקא בשאלות הקלות, ורובן אלגברה.
זה החלק הראשון בסדרה של ארבעה פוסטים על ארבעת תחומי התוכן (content domains) של המתמטיקה ב-SAT הדיגיטלי. בפוסט הזה: מה בדיוק נבדק באלגברה, כמה שאלות יש, שלוש שאלות לדוגמה שכתבתי במיוחד, ואיך לא ליפול במלכודות שהמבחן הזה טומן לכם בכוונה.
רגע של סדר: איך בנוי חלק המתמטיקה ב-SAT
לפני שצוללים לאלגברה, תמונה כללית. לפי College Board, חלק המתמטיקה כולל 44 שאלות בשני מודולים של 35 דקות כל אחד, כלומר 70 דקות בסך הכול. המבחן אדפטיבי: המודול הראשון מעורב, והרמה של המודול השני נקבעת לפי הביצועים שלכם בראשון.
בערך 75% מהשאלות הן אמריקאיות עם ארבע תשובות, והשאר הן שאלות שבהן אתם מקלידים את התשובה בעצמכם (student-produced response).
בתוך כל מודול השאלות מסודרות מהקלה לקשה, ובכל מודול יש שאלות מכל ארבעת התחומים.
מחשבון דסמוס גרפי מובנה בתוך אפליקציית Bluebook, ויש דף נוסחאות (reference sheet) זמין לאורך כל החלק.
בערך 30% מהשאלות מגיעות בתוך הקשר מילולי: מדע, חברה או סיטואציה מהחיים.
ועכשיו החלק החשוב: לפי College Board, אלגברה מקבלת 13 עד 15 שאלות מתוך 44. כלומר בערך 35% מהמתמטיקה. יחד עם מתמטיקה מתקדמת (עוד 13 עד 15) מדובר ביותר משני שליש מהמבחן. ניתוח נתונים וגיאומטריה מקבלים כל אחד 5 עד 7 שאלות בלבד. אז אם אתם צריכים לבחור איפה להשקיע, אתם כבר יודעים.
מה בדיוק נבדק באלגברה ב-SAT?
בגדול, College Board מגדירים את התחום כיכולת לנתח, לפתור בשטף ולבנות משוואות ואי שוויונים לינאריים, וגם לפתור מערכות משוואות בכמה דרכים. בתרגום לעברית של בני אדם: כל מה שקשור לקווים ישרים. חמשת סוגי השאלות הרשמיים הם:
משוואות לינאריות במשתנה אחד (Linear equations in 1 variable): לפתור 3x + 7 = 22 ודומיו, כולל משוואות עם סוגריים, שברים, ומשוואות שיש להן אפס פתרונות או אינסוף פתרונות.
משוואות לינאריות בשני משתנים (Linear equations in 2 variables): משוואות כמו 4x + 3y = 24, שבהן צריך להבין מה כל מקדם אומר, למצוא נקודות על הקו או לתרגם סיפור למשוואה.
פונקציות לינאריות (Linear functions): שיפוע, נקודת חיתוך עם ציר y, טבלאות וגרפים. ובעיקר: מה המשמעות של השיפוע ושל החיתוך בתוך הסיפור.
מערכת של שתי משוואות לינאריות (Systems of 2 linear equations in 2 variables): לפתור, אבל גם לדעת מתי למערכת אין פתרון או יש אינסוף פתרונות.
אי שוויונים לינאריים במשתנה אחד או שניים (Linear inequalities in 1 or 2 variables): כולל בעיות מילוליות בסגנון "לכל היותר" ו"לפחות", ואזורים בגרף.
רמת הקושי? רוב שאלות האלגברה נמצאות בצד הקל עד בינוני של הסקאלה, אבל אל תתבלבלו: במודול השני הקשה יש שאלות אלגברה עם פרמטרים שיכולות לשבור גם תלמידים טובים. הקושי כמעט אף פעם לא מגיע מחישוב מסובך. הוא מגיע מניסוח מבלבל ומתשובות מסיחות שנבנו בדיוק לפי הטעויות שאתם עושים.
שאלה לדוגמה 1: משוואה לינארית (קלה)
If 3(x - 4) + 2x = 2x + 9, what is the value of x?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 21
פתרון: פותחים סוגריים: 3x פחות 12 ועוד 2x, כלומר 5x פחות 12. עכשיו המשוואה היא 5x פחות 12 שווה 2x ועוד 9. מעבירים אגפים: 3x שווה 21, ולכן x שווה 7. התשובה היא C.
ולמה 21 נמצא שם? כי מישהו ישכח לחלק ב-3 בסוף. ו-3 נמצא שם בשביל מי שיחלק פעמיים. ככה בנויות התשובות ב-SAT: כל מסיח הוא טעות של מישהו אמיתי. בדיקה של שלוש שניות (להציב 7 בחזרה) חוסכת לכם את כל הדרמה.
שאלה לדוגמה 2: פונקציה לינארית בתוך סיפור (בינונית)
A gym charges a one-time sign-up fee plus a fixed monthly fee. The total cost for the first 3 months of membership is $135, and the total cost for the first 7 months is $255. What is the one-time sign-up fee, in dollars?
זו שאלה מהסוג שבו מקלידים את התשובה בעצמכם, בלי אפשרויות.
פתרון: בין 3 חודשים ל-7 חודשים עברו 4 חודשים, והמחיר עלה ב-120 דולר. לכן התשלום החודשי הוא 30 דולר. זה השיפוע. אחרי 3 חודשים שילמנו 135, ומזה 90 דולר הם דמי חודש, אז דמי ההרשמה הם 45. התשובה: 45.
המלכודת כאן קלאסית: הרבה תלמידים עונים 30, כי זה המספר הראשון שהם מוצאים ומרגיש כמו "התשובה". תמיד, אבל תמיד, תקראו שוב מה שאלו. השאלה ביקשה את דמי ההרשמה, כלומר את נקודת החיתוך עם ציר y, לא את השיפוע.
שאלה לדוגמה 3: מערכת משוואות בלי פתרון (קשה)
2x + 5y = 8
6x + ky = 20
In the system of equations above, k is a constant. For what value of k does the system have no solution?
פתרון: למערכת של שתי משוואות לינאריות אין פתרון כשהקווים מקבילים ושונים. כלומר כשהמקדמים של x ושל y פרופורציוניים, אבל האיבר החופשי לא. המקדם של x קפץ פי 3 (מ-2 ל-6), אז כדי שהקווים יהיו מקבילים גם המקדם של y צריך לקפוץ פי 3: k שווה 15. ובדיקה: פי 3 של 8 זה 24, לא 20, כך שהקווים באמת לא מתלכדים. התשובה: 15.
אם הייתם מקבלים 24 במקום 20 בצד ימין, לאותו k היו אינסוף פתרונות. ההבחנה הזו בין "אין פתרון" לבין "אינסוף פתרונות" היא אחת השאלות האהובות על כותבי המבחן, ומופיעה שוב ושוב ברמות הקשות.
המלכודות שחוזרות על עצמן באלגברה
לענות על שאלה אחרת: מצאתם את x, אבל ביקשו 2x פחות 1. סמנו לעצמכם מה שואלים לפני שאתם מתחילים לחשב.
סימן מינוס שנעלם: פתיחת סוגריים עם מינוס בחוץ היא מקור הטעויות מספר אחת. אין לי מה להוסיף, פשוט תיזהרו.
הפיכת סימן באי שוויון: כשמכפילים או מחלקים במספר שלילי, הסימן מתהפך. כולם יודעים, חצי שוכחים.
בלבול בין שיפוע לחיתוך: בבעיות מילוליות, השיפוע הוא מה שמשתנה בכל יחידה (לחודש, לשעה, לקילו), והחיתוך הוא נקודת ההתחלה.
יחידות: שאלו בדקות ונתנו בשעות? זה לא באג, זה פיצ'ר.
מתי דסמוס עוזר באלגברה (ומתי הוא סתם מאט)
דסמוס הוא היתרון הכי גדול של ה-SAT הדיגיטלי, ובאלגברה הוא מצוין במיוחד למערכות משוואות: מקלידים את שתי המשוואות כמו שהן, והנקודה שבה הקווים נחתכים היא הפתרון. אין צורך לבודד y, אין צורך בהצבה. בשאלות עם פרמטר, כמו שאלה 3, אפשר להוסיף סליידר ל-k ולראות מתי הקווים הופכים למקבילים.
מצד שני, למשוואה כמו בשאלה 1 לא צריך דסמוס. פתרון ידני לוקח 20 שניות, ופתיחת המחשבון והקלדה לוקחות יותר. הכלל שלי: אם אתם רואים את הדרך תוך חמש שניות, תפתרו בראש. אם לא, דסמוס. כתבתי על זה בהרחבה במדריך המלא למחשבון דסמוס בעברית, ויש גם רשימה של עשרת השימושים הכי טובים של Desmos במבחן ה-DSAT.
טיפים לזמן
יש לכם 35 דקות ל-22 שאלות, כלומר קצת יותר מ-95 שניות לשאלה בממוצע. אבל זה ממוצע מטעה: שאלות האלגברה הקלות בתחילת המודול צריכות לקחת 30 עד 60 שניות, כדי לבנות לכם רזרבה של זמן לשאלות הקשות בסוף.
אל תתקעו על שאלה. סמנו אותה (יש כפתור Mark for Review), תמשיכו ותחזרו בסוף.
אין ניקוד שלילי ב-SAT. לעולם אל תשאירו שאלה ריקה, גם לא שאלה שבה מקלידים תשובה.
בשאלות אמריקאיות, הצבת התשובות בחזרה בשאלה היא לפעמים הדרך הכי מהירה. אין פרסים על אלגנטיות.
איך מתרגלים אלגברה ל-SAT
החדשות הטובות: אלגברה היא התחום הכי "לימידי" במבחן. הכמות של סוגי השאלות מוגבלת, והן חוזרות על עצמן. מי שעושה מספיק שאלות מתחיל לזהות את הדפוסים תוך שבועיים.
התחילו מהבסיס: אם יש לכם חורים בפתיחת סוגריים או בשברים, תסגרו אותם לפני שאתם נוגעים בשאלות SAT.
תרגלו לפי סוג שאלה, לא באקראי. עשרים שאלות מערכות משוואות ברצף מלמדות יותר מעשרים שאלות מעורבות.
נהלו מחברת טעויות. לא את השאלה, את הטעות: "שכחתי להפוך סימן", "עניתי על x במקום על y".
רק אחרי שהבסיס יציב, תעברו לסימולציות מלאות ב-Bluebook ולשאלות SAT לדוגמה.
ואם אתם בונים לעצמכם תוכנית לבד, יש לי פוסט שלם על איך ללמוד לבד למבחן SAT.
השורה התחתונה
אלגברה היא לא המקום שבו מנצחים את ה-SAT, היא המקום שבו לא מפסידים אותו. 13 עד 15 שאלות שרובן ברמה שאתם כבר מכירים מבית הספר, עם כמה מלכודות קבועות. תלמדו את המלכודות, תשתמשו בדסמוס בחוכמה, ותבנו לעצמכם רזרבה של זמן לשאלות הקשות. בפוסט הבא בסדרה: מתמטיקה מתקדמת, שם הדברים מתחילים להתעקם. תרתי משמע.
הסדרה: ארבעת חלקי המתמטיקה ב-SAT
חלק 1: אלגברה ב-SAT (אתם כאן)
ובסדרה המקבילה על חלק הקריאה והכתיבה: אוצר מילים, הבנת הנקרא, דקדוק, מילות קישור, סיכום הערות.
קראו עוד: מבחן SAT: כל מה שצריך לדעת | קורס SAT של אבי יולזרי | עשיתי את ה-SAT הדיגיטלי. הנה המחשבות שלי
מוכנים להפסיק לקרוא ולהתחיל לתרגל SAT?
בניתי פלטפורמת הכנה ל-SAT בעברית, תרגול לפי מבנה המבחן האמיתי.
